老齐教室

初学者须知：Python里的数

2020-04-30

作者：Moshe Zadka

翻译：老齐

与本文相关的图书推荐：《跟老齐学Python：轻松入门》

Python中，数，用各种形式表示，不同形式的数有各自的用途。

整数

整数，令人惊叹于它的简单。两个整数相除，例如4/3，得到一个浮点数，并且(4/3)*3的结果也是浮点数4.0。即便你没有定义浮点数，在进行除法运算的时候，它会自动出现。

浮点数

浮点数不是一般意义的数。按照数学上的规定，数应该遵循如下原则：减法是加法的逆运算，加法结合律，等等。

例如：

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>>> 1 + 2 - 2 - 1
0
>>> 0.1 + 0.2 - 0.2 - 0.1
2.7755575615628914e-17

两个数相加，再分别减去它们，上述居然出现了不同的结果。

它们也不会遵循结合律：a + (b + c) = (a + b) + c

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>>> a = 2**-53
>>> (a + a) + 1 == a + (a + 1)
False

以上仅仅是浮点数运算中存在的两个“小问题”，还不令你惊讶吗？此处不便将浮点数各种出乎意料的运算一一展现。

分数

很多看似简单的程序，遇到分数，就会出问题，比如运算时间暴增，算法的复杂度加倍。遇到分数的时候，算法时间不是跟输入成正比，而是指数增长。

如果时间足够长，内存爆掉也是常见的。

加法就是其中一个典型例子

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>>> print(set(type(p) for p in primes))
>>> one = fractions.Fraction(1)
>>> before = datetime.now()
>>> res = sum(one/p for p in primes[:10000])
>>> after = datetime.now()
>>> print("It took", after-before)
>>> print("Size of output", len(str(res)))
>>> print("Approximate value", float(res))
{<class 'int'>}
It took 0:01:16.033260
Size of output 90676
Approximate value 2.7092582487972945

这段程序，计算了一些素数的倒数的和。在笔记本电脑上，10000个这样的数相加，要1分钟，最终输出结果的大小超过了90K。

对比着，执行浮点数运算，性能更好。

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>>> print(set(type(p) for p in primes))
>>> before = datetime.now()
>>> res = sum(1/p for p in primes[:10000])
>>> after = datetime.now()
>>> print("It took", after-before)
>>> print("Size of output", len(str(res)))
>>> print("Approximate value", float(res))
{<class 'int'>}
It took 0:00:00.000480
Size of output 17
Approximate value 2.709258248797317

这次运行时间小于1毫秒，并且，者还可能是因为用datetime测量产生的误差，快了10000倍。而且输出结果的大小仅有17比特，下降了1000多倍。然而，计算结果有误差。

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Approximate value 2.7092582487972945
Approximate value 2.709258248797317
                    1234567891234

误差低于 10的-14次方，这就如同将火箭发射月球上偏差了1毫米，用浮点数计算得到的结果足够精确，并且效率更高。

对此，一般的观点是：Python进行分数运算很慢。对此，Python可以承担10倍的责任，但不是10000倍。有一个第三方模块，quicktions，用Cython执行分数的运算。

用quicktions，真的“很快”。在我的笔记本电脑上，上面那个程序的时间，从1分16秒，缩短到1分15秒。

问题在于程序本身，在程序中，我精心选择了一种输入方案，以素数作为分母进行分数相加，这本来就是一种很坏的情况。

小数

小数在财务中用途最广，最无聊的是居然以法律的方式规定了小数的形式。然而，Python中所有的小数点运算，都有上下文精确度问题，对此，可以用专门的模块解决。

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>>> getcontext().prec = 6
>>> Decimal(1) / Decimal(7)
Decimal('0.142857')
>>> getcontext().prec = 28
>>> Decimal(1) / Decimal(7)
Decimal('0.1428571428571428571428571429')

在实际项目中，代码中设置精度的位置和进行计算的位置可能间隔几百行，计算可以在一个函数中，也可以在另外一个文件。

最安全的方法是使用localcontext：

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>>> getcontext().prec = 6
>>> # 6853 lines elided
... with localcontext() as ctx:
...     ctx.prec = 10
...     Decimal(1) / Decimal(7)
...
Decimal('0.1428571429')

只要你认真地用localcontext，小数运算不会出问题。

总结

你在程序中用到数字的时候，是否想过：应该用什么类型？会发生什么？误差重要吗？

什么也不想，会意味着暗藏bug。

原文链接：https://orbifold.xyz/numbers.html

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