注： 本文是《机器学习数学基础》的补充资料，本书预计2021年5月由电子工业出版社出版。更多内容可以参考：https://qiwsir.gitee.io/mathmetics/

函数的加减乘除

设 $f$ 和 $g$ 分别为两个函数，若自变量 $x$ 属于两个函数定义域的交集，即 $x\in\mathbb{D}(f)\cap\mathbb{D}(f)$ ，则定义：

• $(f+g)(x) = f(x)+g(x)$
• $(f-g)(x)=f(x)-g(x)$
• $(fg)(x)=f(x)g(x)$
• $\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)},\quad(g(x)\ne{0})$

注意，在$(f+g)(x) = f(x)+g(x)$ 中，等号左边的加法符号，表示的是两个函数相加；等号右边的加法符号，表示的是 $f(x)$ 和 $g(x)$ 两个函数输出值相加。

复合函数

设函数 $f$ 和 $g$ ，复合函数（composite function） $f\circ{g}$ 定义为：

$(f\circ{g})(x)=f(g(x))$

在复合函数中，$g(x)$ 是第一个函数 $g$ 的输出，也是第二个函数 $f$ 的输入，其运算流程如下图所示：

由此流程可知，复合函数的自变量 $x$ 首先在函数 $g$ 的定义域内，$g(x)$ 的值又在函数 $f$ 的定义域内，如此才能得到两者的符合函数 $(f\circ{g})(x)$ 的输出。定义域的演示如下图所示。

一般情况，$f\circ{g}$ 和 $g\circ{f}$ 是两个不同的函数。

平移

对一个已知的函数，通过加、减一个常数，就可以得到一个新的函数；或者让自变量加减一个常数，也可以得到新的函数。新函数相对于原来的函数，会在水平、竖直方向上发生平移。

• 垂直平移：$y=f(x)+k$
  • $k\gt{0}$ ，则向着 $y$ 轴正方向平移 $k$ 个单位
  • $k\lt{0}$ ，则向着 $y$ 轴负方向平移 $|k|$ 个单位
• 水平平移：$y=f(x+h)$
  • $h\gt{0}$ ，则向着 $x$ 轴负方向平移 $h$ 个单位
  • $h\lt{0}$ ，则向着 $x$ 轴正方向平移 $|h|$ 个单位

如下图所示，是基于函数 $$f(x)=x^2$$ ，按照上述原则进行平移，分别得到相应的函数。

• 向着 $y$ 轴正方向平移 $$1$$ 个单位：$y=x^2+1$
• 向着 $y$ 轴负方向平移 $$2$$ 个单位：$y=x^2-2$
• 向着 $x$ 轴负方向平移 $$3$$ 个单位：$y=(x+3)^2$

压缩和拉伸

如果对函数或者自变量乘以一个常数，能够实现函数图像的压缩和拉伸效果。

设常数 $c\gt{1}$ ，对于函数 $f(x)$ ：

• $y=cf(x)$ ，将函数 $f$ 的图像沿 $y$ 轴拉伸为 $c$ 倍
• $y=\frac{1}{c}f(x)$ ，将函数 $f$ 的图像沿 $y$ 轴压缩为 $\frac{1}{c}$ 倍
• $y=f(cx)$ ，将函数 $f$ 的图像沿 $x$ 轴压缩为 $\frac{1}{c}$ 倍
• $y=f(x/c)$ ，将函数 $f$ 的图像沿 $x$ 轴拉伸为 $c$ 倍

如果 $c=-1$ ，则：

• $y=-f(x)$ ，相对 $x$ 轴镜像变换
• $y=f(-x)$ ，相对 $y$ 轴镜像变换

如下图所示，演示了图像压缩、拉伸和镜像变换。