注： 本位是即将于2021年5月由电子工业出版社出版的《机器学习数学基础》一书的在线补充资料。供大家参考。

角和弧度

设 $s$ 为弧长，$r$ 为半径，$\theta$ 是以弧度为单位的角，则：

$s=r\theta$

弧度和角度之间的换算关系：$\pi=180^{\circ}$ 。

下表对应着换算关系。

常用三角函数

参考下图，列出常用的三角函数：

• $\sin\theta=\frac{y}{r}, \quad\csc\theta=\frac{r}{y}$
• $\cos\theta=\frac{x}{r}, \quad \sec\theta=\frac{r}{x}$
• $\tan\theta=\frac{y}{x},\quad \cot\theta=\frac{x}{y}$

三角函数之间的关系：

• $\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta},\quad \cot\theta=\frac{1}{\tan\theta}$
• $\sec\theta=\frac{1}{\cos\theta},\quad \csc\theta=\frac{1}{\sin\theta}$

三角函数的周期

定义 设函数 $f(x)$ ，有正数 $p$ ，使得 $f(x+p)=f(x)$ 对任何 $x$ 成立，则其中最小的数值 $p$ 即为函数 $f(x)$ 的周期（period）。

对于三角函数而言，有的周期是 $\pi$ ，有的周期是 $2\pi$ ，如下图所示，常用的三角函数图像，从中可以观察到其周期。

• 周期为 $\pi$ ：
  • $\tan(x+\pi)=\tan{x}$
  • $\cot(x+\pi)=\cot{x}$
• 周期为 $2\pi$ ：
  • $\sin(x+2\pi)=\sin{x}$
  • $\cos(x+2\pi)=\cos{x}$
  • $\sec(x+2\pi)=\sec{x}$
  • $\csc(x+2\pi)=\csc{x}$
• 偶函数：
  • $\cos(-x)=\cos{x}$
  • $\sec(-x)=\sec{x}$
• 奇函数：
  • $\sin(-x)=-\sin{x}$
  • $\tan(-x)=-\tan{x}$
  • $\csc(-x)=-\csc{x}$
  • $\cot(-x)=-\cot{x}$

重要关系式和定理

• $\cos^2\theta + \sin^2\theta=1$

  • $1+\tan^2\theta=\sec^2\theta$
  • $1+\cot^2\theta=\csc^2\theta$

• 加法公式：

  • $\cos(A+B)=\cos{A}\cos{B}-\sin{A}sin{B}$
  • $\sin(A+B)=\sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B}$

• 二倍角公式：

  • $\cos(2\theta)=\cos^2\theta-\sin^2\theta$
  • $\sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta$

• 半角公式：

  • $\cos^2\theta=\frac{1+\cos(2\theta)}{2}$
  • $\sin^2\theta=\frac{1-\cos(2\theta)}{2}$

• 余弦定理：

  • $c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta$ ，其中 $a,b,c$ 为三角形三条边，$\theta$ 为边 $c$ 的对角。

• 特殊不等式：

  • $-|\theta|\le\sin\theta\le|\theta|$

  • $-|\theta|\le1-\cos\theta\le|\theta|$

    证明：如下图所示，$P$ 是单位圆上的一点，$PO$ 与 $x$ 轴之间的夹角为 $\theta$ 。

    

    单位圆

    在直角三角形 $APQ$ 中，

    $QP=|\sin\theta|,\quad AQ=1-\cos\theta$

    因为单位圆的半径是 $1$ ，即弧长 $\overset{\frown}{AP}=\theta$ ，显然 $\overset{\frown}{AP}$ 大于线段 $AP$ 的长度，即 $AP\lt|\theta|$ 。由勾股定理可得：

    $\sin^2\theta+(1-\cos\theta)^2=(AP)^2\le\theta^2$

    上式等号左侧两项都大于 $0$ ，所以可得：

    $\sin^2\theta\le\theta^2, \quad{and}\quad (1-\cos\theta)^2\le\theta^2$

    $|\sin\theta|\le|\theta|, \quad{and}\quad |1-\cos\theta|\le|\theta|$

    故：

    $-|\theta|\le\sin\theta\le|\theta| \quad{and}\quad -|\theta|\le1-\cos\theta\le|\theta|$

三角函数图像变换

根据前述函数图像变换知识，可以总结如下：

以正弦为例，如下函数可以通过对 $y=\sin(x)$ 的变换得到：

$f(x)=A\sin\left(\frac{2\pi}{B}(x-C)\right)+D$

其中 $|A|$ 为振幅， $|B|$ 为周期，$C$ 为水平偏移， $D$ 为垂直偏移，最终图像为：

用Python实现计算

在Pyhton语言中，内置函数能够实现初等代数中的常见函数（具体用法，请参阅《Python大学实用教程》或《跟老齐学Python：轻松入门》，电子工业出版社出版）。

此外，如果进行复杂的函数运算，还可以使用scipy库提供的各种函数，比如统计学或者线性代数中的函数，在《机器学习数学基础》中对此有较为详细的说明。